Interpolación lineal

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Esta aplicación Android es mucho más útil de lo que parece a simple vista. En muchas ocasiones conocemos funciones que no son lineales o nos dan una tabla que contiene algunos valores correspondientes a la función. Las tablas son muy útiles para obtener el valor de una función que corresponde a un cierto valor de la variable independiente. Las tablas más conocidas son las de logarítmos y las tablas de trigonometría. En realidad, hay tablas para cualquier fenómeno que pueda medirse, no sólo funciones que obedecen a cálculos más o menos complicados pero exactos, como la distintas funciones  de distribución empleadas en estadística, sino que también contamos con tablas de mareas,  de natalidad, de mortalidad, de accidentes por edad o cualquier otra variable que pueda ser objeto de observación y medición.

Las tablas recogen un número limitado de valores y muchas veces queremos conocer un valor intermedio que no viene en las tablas o, incluso, un valor extremo fuera del contenido de las tablas. En estas ocasiones resulta muy útil recurrir a la interpolación lineal que consiste en suponer que entre dos valores conocidos puede trazarse una recta para encontrar una estimación aproximada del valor que buscamos.

En este vídeo podemos ver dos ejemplos que muestran cómo debe emplearse la aplicación para calcular el valor correspondiente a la interpolación lineal deseada.

El primer ejemplo se refiere al uso de tablas estadísticas que muestran el valor de la función de distribución normal. En las tablas vemos dos valores, los dos primeros, que muestran que cuando x es igual a 2.40, la función toma el valor de 0.99180, mientras que cuando x es igual a 2.41, la función vale 0.99202.

Deseamos conocer el valor de la función para x = 2.403

Si tuvieramos que resolver el problema con una calculadora veriamos que para una diferencia del valor de x de 0.01 (2.41 - 2.40), el valor de la función cambia en 0.00022. Por ello, podemos aplicar una regla de tres para conocer lo que varia la función para diferencia de 0.03 de la variable x. El resultado se sumaría a 0.99180 y se obtendría el valor aproximado correspondiente a la interpolación lineal.  El resultado es 0.991866

Todos esos cálculos los realiza la aplicación sin más que introducir los valores de la tabla, con una interface muy amigable para el usuario. La resolución con calculadora es mucho más complicada con relaciones inversamente proporcionales y casos de extrapolación. 

El segundo ejemplo de interpolación que contiene el vídeo, se refiere a un fenómeno natural, las mareas. Pretendemos utilizar las tablas de mareas del lugar cuando sólo disponemos de los valores de bajamar y pleamar.

Vemos que para el día que nos interesa controlar nos facilita una bajamar a las 0:45 horas con una altura de 0.93 metros y la siguiente pleamar a las 7:20 horas con una altura de 1.59 metros. Deseamos conocer la altura de la mareas a las 1:45 horas.

Como el tiempo lo medimos utilizando el sistema sexagesimal, para introducir los valores en la aplicación y obtener los resultados correctos, debemos utilizar el sistema centesimal o, alternativamente, convertir todos los tiempos a minutos. Utilizaremos la segunda opción.

El problema queda enunciado de la siguiente forma: A los 45 minutos del día la altura es de 0.93 metros; en el minuto 440 (7 x 60 +20 ), la altura de la marea es de 1.59 ¿Cuál será la altura aproximada de la marea a los 105 minutos? La respuesta que proporciona la aplicación es 1.0302532